素?cái)?shù)又叫質(zhì)數(shù)，是在大于1的自然數(shù)中只能被1和其自身整除的數(shù)。每個(gè)自然數(shù)都可以唯一地分解成有限個(gè)素?cái)?shù)的乘積，素?cái)?shù)因此構(gòu)成了自然數(shù)體系的基石。2300多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》一書中證明了素?cái)?shù)有無窮多個(gè)，并提出一些素?cái)?shù)可寫成“2^P-1”（即2的P次方減1，其中指數(shù)P也是素?cái)?shù)）的形式。

由于2^P-1型的素?cái)?shù)具有獨(dú)特?cái)?shù)學(xué)性質(zhì)，千百年來，許多著名數(shù)學(xué)家以及無數(shù)數(shù)學(xué)愛好者對它情有獨(dú)鐘。其中，17世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家馬林·梅森在這方面有過重要貢獻(xiàn)。為了紀(jì)念梅森，數(shù)學(xué)界就將2^P-1 型的素?cái)?shù)稱為“梅森素?cái)?shù)”（the Mersenne prime）。這種素?cái)?shù)珍奇而迷人，因而被稱為“數(shù)海明珠”。梅森素?cái)?shù)歷來是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的重要分支——數(shù)論研究的一項(xiàng)重要內(nèi)容，也是當(dāng)今科學(xué)探索的熱點(diǎn)和難點(diǎn)之一。

梅森素?cái)?shù)貌似簡單，但當(dāng)指數(shù)P值較大時(shí)，其素性檢驗(yàn)的難度就會很大；此外，它的探究需要高深的理論和純熟的技巧，以及艱巨的計(jì)算。例如：1772年，享有“數(shù)學(xué)英雄”美譽(yù)的瑞士數(shù)學(xué)家及物理學(xué)家歐拉在雙目失明的情況下，靠心算證明了2^31-1(即2的31次方減1)是個(gè)素?cái)?shù)；該數(shù)有10位（2147483647），堪稱當(dāng)時(shí)世界上已知的最大素?cái)?shù)。歐拉的毅力與技巧都令人贊嘆不已；難怪法國大數(shù)學(xué)家拉普拉斯向他的學(xué)生們說：“讀讀歐拉，他是我們每一個(gè)人的老師。”在“手算筆錄年代”，人們歷盡艱辛，共計(jì)才找到12個(gè)梅森素?cái)?shù)。

電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，大大加快了探究梅森素?cái)?shù)的步伐。1996年初，美國數(shù)學(xué)家及程序設(shè)計(jì)師喬治·沃特曼編制了一個(gè)梅森素?cái)?shù)計(jì)算程序，并把它放在網(wǎng)頁上供人們免費(fèi)使用。這一計(jì)算程序就是舉世聞名的GIMPS項(xiàng)目，也是全球首個(gè)基于互聯(lián)網(wǎng)的網(wǎng)格計(jì)算項(xiàng)目。至今人們通過該項(xiàng)目已經(jīng)找到17個(gè)梅森素?cái)?shù)。例如：2018年，美國數(shù)學(xué)愛好者帕特里克·拉羅什通過GIMPS項(xiàng)目，成功發(fā)現(xiàn)第51個(gè)梅森素?cái)?shù)——2^82589933-1(即2的82589933次方減1)；該素?cái)?shù)有24862048位，是迄今為止人類發(fā)現(xiàn)的最大素?cái)?shù)。目前，全球有近75萬人參與GIMPS項(xiàng)目，動用了超過195萬核中央處理器（CPU）聯(lián)網(wǎng)來尋找梅森素?cái)?shù)——這在數(shù)學(xué)史上前所未有，在科學(xué)史上也極為罕見。

值得一提的是，人們在尋找梅森素?cái)?shù)的同時(shí)，對其重要性質(zhì)——分布規(guī)律的研究也持續(xù)進(jìn)行著。從已發(fā)現(xiàn)的梅森素?cái)?shù)來看，它們在正整數(shù)中的分布極不規(guī)則。因此，研究梅森素?cái)?shù)的分布規(guī)律似乎比尋找新的梅森素?cái)?shù)更為困難。1992年，中國數(shù)學(xué)家及語言學(xué)家周海中運(yùn)用聯(lián)系觀察法和不完全歸納法，率先給出了梅森素?cái)?shù)分布的精確表達(dá)式，這一重要成果被國際上命名為“周氏猜測”。美籍挪威數(shù)論大師、菲爾茨獎和沃爾夫獎得主阿特勒·塞爾伯格指出：“周氏猜測具有創(chuàng)新性，開創(chuàng)了富于啟發(fā)性的新方法，其創(chuàng)新性還表現(xiàn)在揭示新的規(guī)律上。”

探究梅森素?cái)?shù)具有重大意義，是發(fā)現(xiàn)已知最大素?cái)?shù)的最有效途徑，有力地推動了素?cái)?shù)論的研究。另外，梅森素?cái)?shù)在計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域具有重要應(yīng)用價(jià)值——它可以用來檢測計(jì)算機(jī)系統(tǒng)或程序中存在的問題。許多專家認(rèn)為，梅森素?cái)?shù)的研究成果一定程度上反映了一個(gè)國家的科技水平。英國數(shù)學(xué)協(xié)會主席、《素?cái)?shù)的音樂》一書作者馬科斯·索托伊甚至認(rèn)為，梅森素?cái)?shù)的探究進(jìn)展不但是人類智力發(fā)展在數(shù)學(xué)上的一種標(biāo)志，也是整個(gè)科技發(fā)展的里程碑之一。

（作者單位：澳大利亞國立大學(xué)物理與數(shù)學(xué)學(xué)院）

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